Rätsel (nicht) für Mathematiker

Ich denke, ich habe diese Woche einen jungen Arbeitskollegen, der mir spannende Rätsel stellen wollte, etwas enttäuscht:

Er: "Stell dir vor, du hast 25 verschieden schnelle Pferde und keine Stoppuhr, und --"
Ich: "Wieviele Pferde pro Rennen sind erlaubt?"
Er: "Kennst du schon? Okay, ein anderes. Nehmen wir an, du hast 9 Säcke mit Münz--"
Ich: "Weiß ich, um wieviel die gefälschten Münzen leichter sind?"
Er: "Na gut, ich hab noch eines! Stell dir vor, es gibt drei Türen und --"
Ich: "Zwei Drittel wenn man wechselt."
Er: "Stimmt. Okay. Du hast 100 schwarze und 100 weiße Kugeln und zwei --"
Ich: "Eine weiße allein in den einen Becher."

Numerik

Zitat des Tages: "Konsistenz bedeutet, dass der Algorithmus in einer gewissen grundlegenden Weise tatsächlich das gegebene Problem löst und nicht ein anderes."

Die Lehre schöner Dokumente

Mit freundlicher Genehmigung des Autors darf ich die folgende höchst amüsante Abhandlung über die korrekte Anwendung von LaTeX-Befehlen aus einer email-Diskussion zitieren -- ich finde, so schöner Humor sollte nicht ungehört verklingen:

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Lieber Herr X,

Frau Y hat mich aufgeklärt, dass Sie ihr erklärt haben, dass die
Punkte eines Dreiecks als $\mathit{ABC}$ und nicht einfach als $ABC$
zu setzen seien.

Bitte auch um entsprechende Erklärungen, damit ich auch verstehe,
warum Sie das vorziehen.

Ich hätte ja gemeint, dass A B und C drei verschiedene Punkte sind, die
eben --- wie bei einer Multiplikation --- ohne binären Operator
nebeneinanderstehen, und damit bin ich bei $ABC$.

Z

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Lieber Herr Z,

> Frau Y hat mich aufgeklärt, dass Sie ihr erklärt haben, dass die
> Punkte eines Dreiecks als $\mathit{ABC}$ und nicht einfach als $ABC$
> zu setzen seien.

Sollte das tatsächlich zutreffen, will ich nicht ruhen, ehe sämtliche Dreiecke von der gemeinen Tyrannei durch \mathit befreit worden und ihrer rechtmäßigen Multiplikation wieder eigen geworden sind!

> Bitte auch um entsprechende Erklärungen, damit ich auch verstehe,
> warum Sie das vorziehen.

Ich kann es mir kaum anders erklären, als dass ich von bösen Geistern geritten ward. Inzwischen habe ich jedenfalls, Knuth sei Dank, diesen schändlichen Pfad der Unterdrückung unschuldiger Punkte hinter mir gelassen.

> Ich hätte ja gemeint, dass A B und C drei verschiedene Punkte sind, die
> eben --- wie bei einer Multiplikation --- ohne binären Operator
> nebeneinanderstehen, und damit bin ich bei $ABC$.

Sie können in dieser Sache mit meinem uneingeschränkten Vertrauen und vollster Unterstützung rechnen.

Sollte zu Unrecht Platz unterschlagen worden sein, sei dieser hiermit inklusive sämtlicher Zinsen, Zinseszinsen und Kollateralschäden bei Vier- und Fünfecken umgehend zurückgezahlt:

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

Für eventuell zu viel beanspruchten Raum sollte ein

\hspace{-16em}

zu Ihrer freien Verfügung für gerechten Ausgleich sorgen.

Ich hoffe inständig, dass darüber hinaus kein seelischer Schaden angerichtet wurde, der nicht durch einen angemessenen Kaiserschmarrn und entsprechenden Zwetschkenröster wieder gut gemacht werden könnte.

Mit schuldbewussten Grüßen

X

Kopien ergehen zur allgemeinen Information, Begutachtung und Beglaubigung an weitere Verfechter der Lehre schöner Dokumente.

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Telephone surveys simply explained

Of course, this simplifies the issue, so let's honor it with a bit more detail.

(Note: I'm neither a specialist on statistics nor on telephone surveys. I'm only applying some common sense here.)

Sources of errors and biases

By and large there are two kinds of errors that can distort survey results:

• Errors due to parts of the population not being reachable by phone ("selection bias").
• Errors due to people not answering honestly ("measurement error").

Selection bias

There are various reasons why people can't be reached. Some don't have phones. This includes relatively isolated parts of the population, such as indigenous tribes and Amish people, but also homeless people, children, and people with alternative life styles who don't use phones by choice. Others just don't pick up when they see unknown or suppressed numbers.

Most telephone surveys deal with this by just extrapolating -- that is, hoping that those who could not be reached would have answered similar to those who did pick up. How well this approach works depends largely on how strongly the question is correlated to the reachability. Ideally, there is no correlation at all.

For example, if the question is "Do you prefer strawberry or vanilla ice cream?", then it's quite likely that this is not strongly linked to the possession of a phone. Probably the percentage of homeless who like vanilla better is similar to the percentage amongst millionaires.

Asking "Do you own a phone?", on the other hand, is akin to asking "Are you asleep?". You will not get a [credible] "no" for an answer.

Most questions are somewhere in the grey area between these extremes. For example, "Did you book a holiday on the Internet this year?" has distorted results, because of those people who did, a certain percentage is probably on this very holiday when the survey is being made.

Similarly, political opinion polls are likely to be distorted, because preference for a particular party is strongly tied to the social group -- and so is reachability by phone. A party with a program that favors young educated people for example might underperform in such surveys, because young educated people have mobile phones with caller ID, and know how to put anonymous calls onto an ignore list.

Other kinds of surveys have similar issues with selection bias. For example, a survey that is conducted in a shopping mall by randomly approaching people might not exclude people without phones, but it preselects on "people who go to shopping malls", and additionally has some preselection against assertive people who are more likely to refuse to take part in the survey.

Finally, the real selection bias nightmare are surveys where people can sign up themselves to participate. This is something that many non-profit organizations suffer from. Not having the money for a professional survey, they often send out "Please take our latest survey" emails to friends and mailing list subscribers -- which is a group that's usually very far away from the average opinion on the topic at hand. It's a bit like asking your five best friends if they like you, and then extrapolating that all the world loves you: Good for your self-esteem, but not very realistic.

Measurement error

Measurement errors are simpler to explain: Some people just don't answer honestly or correctly. Again, how much of a problem this is depends on the question. For some questions, people don't have any incentive to lie. Take for example the already mentioned vanilla or strawberry ice cream preference.

There are other questions however where people are much more likely to lie. "Do you cheat on your wife/husband?" is a classical one. But also certain political parties are generally underrated in pre-election polls because people are too embarrassed to admit that they vote for them. For example, we all know that nobody would ever vote for the FPÖ (except for those 10-20% that regularly do so at the elections, but miraculously never show up in any polls).

Besides intentional lying there are also questions where people simply don't know the correct answer. Smokers for example tend to underrate how much money they really spend on cigarettes, and few people can really tell how many hours per day they spend on the Internet or watching TV.

And sometimes people just don't understand the question. Ask enough people whether they have ever seen a phishing attack, and you will find some who have never heard of "phishing" before, hear "fishing" instead, and answer "no" because no, they have never seen a fish attack anyone.

Handling errors and biases

In order to handle these errors and biases, surveys can for example do the following things:

Estimating known biases

In some cases, previous surveys compared to real data can indicate what biases are to expect. For example, by comparing pre-election polls with election results, it's possible to see patterns how real results differ from predictions. Once it is known that the aforementioned FPÖ generally is underestimated in surveys, it is possible to estimate how much the bias distorts the result and try to calculate it away.

Weighting sample to match demographics

As mentioned before, some groups of the population are underrepresented in those samples because they are less likely to be reachable by phone than others. Surveys that also ask for age, gender and similar attributes can weight the answers so that the overall result better matches the distribution in the population. For example, if it is known that 30% of the population are older than 50 years, but of the people who took part in the survey only 10% are, then those 10% get more weight.

Stratified random selection

When proper distribution amongst certain population groups is crucial, instead of randomly calling phone numbers, the survey participants can be selected randomly per group, and if necessary even be surveyed by different means. For example, when it's important to avoid that homeless people are underrepresented -- for example, for a discount store they might be an important group of the customers --, then a survey will randomly select 200 phone numbers, and in addition perform 100 random in-person surveys at a homeless shelter. It will have other selection biases, but can avoid those that are known to be important to a particular survey.

Estimating result confidence

Even if there were no sampling biases and no measurement errors, there would still stay the problem that only a small fraction of the population was asked. So how much can asking 10 people really tell us about the average person?

Let's look at the simple example from above in detail. We want to know whether Austrians prefer strawberry or vanilla ice cream. We randomly choose 10 phone numbers and call them. 1 person likes strawberry and 9 prefer vanilla. To certain news papers this would be enough evidence for saying that 90% of the Austrians prefer vanilla ice cream. But what do we really know? The only thing we know for sure at this point is that 9 of the 8000000 Austrians like vanilla ice cream. Or, more precisely, that 9 Austrians say that they like vanilla ice cream.

The simple truth is that after calling n people, all we know for sure is how these n people answered.

Calling another n could change the whole result. The next 10 people might all like strawberry, and suddenly the preference for vanilla plummets from 90% down to 45%. And this is where probability comes in.

It is, theoretically, possible, that we have accidentally called the only 9 Austrians who like vanilla ice cream. It is possible that all the other 7999991 Austrians hate it, and that the Austrian preference for vanilla ice cream is thus at 0.0001125%. But how likely is it that with only 10 phone calls we really managed to reach these 9? Right. It's about as likely as calling 10 random phone numbers and meeting 9 attractive, single lottery millionaires, which is less likely than winning in the lottery yourself, which is less likely than being struck by lightning.

I will spare you the mathematics, but the most likely explanation for the 9 out of 10 vanilla answers is that 90% of the Austrians prefer vanilla.

Since we only called 10 persons, the result is not very reliable, though. If we call 10000 people and 9000 of them say "vanilla", we would still guess that 90% of the Austrians prefer vanilla, but we would be more confident about our estimate.

Professional surveys will therefore indicate the margin of error, which indicates how reliable the results are, by giving the range within which the real result lies with a high probability, usually 95% or 99%. And here the problems start again, because it's not possible to calculate that range without making even more assumptions. For example, do you assume that any result between 0 and 8000000 Austrians preferring vanilla is equally likely, or do you assume that roughly half of the Austrians preferring vanilla and the other half strawberry is much more likely than nobody liking strawberry?

The truth is that even the estimate can only be estimated. It can be estimated relatively well, though, and it always holds that the larger the sample size, the higher the reliability of the result. So both with 9 out of 10 and with 9000 out of 10000 answers in favor of vanilla ice cream we estimate the real result to be "around" 90%, but with different confidence levels: With 9 out of 10 answers for vanilla, the real result is with a probability of roughly 99% between 50% and 100%. With 9000 out of 10000 answers, it's with a probability of roughly 99% between 88% and 92%.

Conclusion

Surveys can have their uses, but they aren't the absolute truth and should be taken with a grain of salt. At the end of the day, the only thing they tell us for sure is how the people who were called have answered.

-- Birgit

Ganz besondere Erkenntnisse

Beim Verbessern einer Klausur sieht man ja normalerweise die gleichen paar Fehler immer und immer wieder. Nur manchmal taucht plötzlich ein Fehler auf, der einem ein leises (oder auch lautes) "Häh?!?" entlockt, gefolgt von "Wie um Himmels Willen kann man denn auf sowas kommen?!?". (Wer mich kennt, weiß, dass mir durchaus bewusst ist, dass Satzzeichen keine Rudeltiere sind. Man benötigt hier wirklich drei, um auszudrücken, wie vollkommen perplex man über manche "Lösungen" ist.)

Wie zum Beispiel im folgenden Fall, wo die Lösung einer homogenen Differentialgleichung gesucht war, und doch jeder weiß, dass die (fast) immer die Form "Konstante mal e hoch irgendwas" haben:



'R'? Wie um alles in der Welt kommt man hier auf 'R'?

Aber wie so oft im Leben, die Erklärung findet sich, wenn man nur ein wenig wartet. Und dann einige Blätter später im Stapel auf eine etwas schlampig geschriebene Arbeit trifft, in der zum Beispiel Folgendes steht:


Und die Moral von der Geschicht: Abschreiben, wenn man nicht einmal den leisesten Tau hat, lohnt sich nicht. Amüsiert aber die Korrektoren.

lG Birgit

P.S.: In die gleiche Kategorie fällt eine Klausur aus lang vergangenen Tagen, als ein Student sein "ln(x+3)" derart unsauber geschrieben hatte, dass der rechte Sitznachbar es als "h(x+3)" und der linke als "4(x+3)" abgeschrieben hat.

Und dann war da noch die Hausübung, bei der eigentlich nur die Konstante r vorkam, weswegen ein Student es nicht für notwendig befunden hatte, ausreichend sauber zu schreiben, dass man wirklich erkennen könnte, ob es sich gerade um ein r, ein n oder doch vielleicht ein v handelt -- was gar kein Problem gewesen wäre, hätte nicht eine Studienkollegin die Hausübung in wunderschönster Reinschrift abgeschrieben, dabei aber nur die Hälfte der r als sauber geschriebene r abgemalt, und die andere Hälfte in ebenso schöner Schrift als v.

Mathematik-Übungen

Ein McDonalds in Tiengen hat am 27.05.2010 folgende Preistabelle (leicht gekürzt) für Getränke aushängen:

	0.25l	0.4l	0.5l
Cola	1.10€	1.79€	2.39€
Orangensaftgetränk	1.79€	2.19€	2.49€

a) Man berechne im Kopf (bzw. schätze ab), welche Größe bei Cola das beste Preis-Leistungs-Verhältnis hat.

b) Timo hat großen Durst und möchte deshalb genau 2.65l trinken. Was ist die günstigste Kombination von Bechergrößen, wenn er Cola bzw. Orangensaftgetränk trinken will?

lG Birgit

Spieltheorie @ Stargate Universe

SPOILER ALERT

Ein kleines spieltheoretisches Gedankenexperiment, aus der letzten Folge von Stargate Universe (1.13 "Faith"):

Gegeben: Ein großes Raumschiff mit zwei Shuttles, eines davon beschädigt. Die beiden Shuttles können auf Planeten landen, das große Schiff nicht. Es gibt keine anderen Möglichkeiten, zwischen Schiff und Planet zu reisen.

Etwa 15 Leute, sowohl Zivilisten als auch Militärpersonal, sind mit dem intakten Shuttle zu einem Planeten geflogen. Es gefällt ihnen dort so gut, dass sie bleiben möchten. Allerdings muss das große Raumschiff bald weiterreisen, und fliegt dabei so schnell, dass die Shuttles dann nicht mehr nachkommen könnten. Eine spätere Rückkehr des großen Schiffes zum Planeten ist höchst unwahrscheinlich, Hilfe von außen ebenso. Sobald das große Schiff weiterfliegt, wären alle auf dem Planeten also dauerhaft dort gestrandet. Ebenso wären aus Sicht des Raumschiffes alle dort zurückbleibenden Personen, Shuttles und Vorräte dauerhaft verloren.

Der Commander (namens Young) des Raumschiffes will die auf dem Planeten verbliebenen Leute (oder zumindest einen Teil davon) sowie das intakte Shuttle wieder zurückholen, notfalls mit Gewalt. Andererseits will er denen, die wirklich zurückbleiben wollen, helfen, indem er ihnen das beschädigte Shuttle überlässt, das zwar gerade noch zum Planeten fliegen kann und dort auch in Bodennähe herumfliegen könnte, von dort aber wegen der beschädigten Antriebe vermutlich nicht mehr zurückkehren könnte. (Noch ist das defekte Shuttle im Hangar des Raumschiffes, mit mäßigen Chancen auf vollständige Reparatur.)


"Lösung" in der Serie: Young fliegt mit dem beschädigten Shuttle zum Planeten und schlägt den Zurückbleibenden dort vor, ihnen das defekte Shuttle zu überlassen, während er mit dem intakten Shuttle und den restlichen Leuten zum Raumschiff zurückfliegt. Es entsteht folgendes Gespräch:
YOUNG: "Ich werde Ihnen das [beschädigte] Shuttle nur unter einer Bedingung überlassen: Das gesamte militärische Personal kehrt mit mir zum Raumschiff zurück. Wenn Sie meinen Vorschlag ablehnen, werden wir Sie alle zurückbringen, und zwar mit Gewalt."
ZIVILIST: "Das können Sie nicht tun!"
YOUNG: "Darauf sollten Sie es lieber nicht ankommen lassen."

So. Es gibt einen selbstgebackenen Gugelhupf für denjenigen oder diejenige, der/die mir als erster antwortet, was die zwei bis drei ganz groben Schnitzer in Youngs Überlegung sind.

lG Birgit

Heppi Miel

Nur ein paar kleine Anmerkungen zu der bunten Box, in der bei McDonalds vor ein paar Tagen mein Happy Meal daherkam:
* Es gibt je nach Zählweise zwischen 5 und 7 Kontinente. Wenn man schon die Zählweise mit 5 Kontinenten als einzige Wahrheit anpreist, dann sind Europa und Asien bitte zusammen ein Kontinent namens Eurasien, und als Ausgleich vergessen wir bitte nicht auf die Antarktis.
* Übrigens gibt es diese 5 (bis 7) Kontinente nicht auf der Welt, sondern auf der Erde.
* Die Erde besteht mitnichten zu 70.7% aus Wasser; dies trifft lediglich auf die Erdoberfläche zu.
* "Eskimo" gilt im Allgemeinen nicht als Bezeichnung, sondern als Schimpfwort.
* Insgesamt sind in den Texten vier Rufzeichen zu viel, die durch Punkte ersetzt werden sollten.
* Der Text beim Rätsel sollte nicht heißen "Ordne jeweils das Lieblingsessen auf der linken Seite dem richtigen Landsmann auf der rechten Seite zu! Wer mag was am liebsten?", sondern "Ordne die im Allgemeinen als landestypisch angesehenen Speisen auf der linken Seite den klischeehaften Darstellungen von Einwohnern dieser Länder auf der rechten Seite zu."
* Ob das dann wirklich deren Lieblingsspeisen sind, sei dahingestellt.
* Übrigens ist Mais nicht afrikanischer, als Reis europäisch ist.
* Und über die Landkarte im Hintergrund schweige ich besser. (Dass Italien und Ägypten zusammengewachsen seien, wäre mir jedenfalls neu. Aber Moskau ist ja auch im Allgemeinen nicht östlich von Indien.)


Und noch zwei kleine Rechenübungen (unter Verwendung der unverbindlichen, nicht kartellierten Richtpreise, wie vorgefunden am 30.03.2010 im McDonalds Rankweil, Vorarlberg):

Rechenübung 1:
Variante 1:
Happy Meal (Hamburger, Kl. Portion Pommes, Kl. Getränk, Spielzeug): 3.49€
Variante 2:
Hamburger (1€), Kl. Portion Pommes (1€), Kl. Getränk (1€): 3€
Frage:
Was ist der effektive Preis des Spielzeugs?

Rechenübung 2:
0.25l Cola: 1€
0.4l Cola: 1.79€
0.5l Cola: 1.99€
Was ist an dieser Preistabelle seltsam?

lG Birgit

P.S.: Gut, zugegeben, Moskau ist östlich von Indien, um ungefähr 320 Längengrade.

Magie

Martin: "Ich weiß noch einen Zaubertrick. Denk an eine transzendente Zahl zwischen 1 und 10!"
Birgit: "Okay..."
Martin: "Jetzt bilde die Ziffernsumme!"
Birgit: "Okay..."
Martin: "Aleph-Null!"

lG Birgit